最後に日付、署名、印鑑を押します。印鑑は認印(シャチハタは不可)でも可ですが、ご自身の強い意思を示すという意味でも実印で押印されることを個人的にはお勧めしています。
日付も必ず必要です。申請日ではなく、遺言書を作成した日になります。〇月吉日といった日程は特定できないので無効です。遺言書は新しいものが基本優先されますので、いつその遺言書を書いたのかというのは重要な情報となります。
こういったところは、この制度の申請段階ではねられますので、これがもとで遺言書が無効になるということはありませんが、訂正、書き直しも手間ですのでご注意ください。